最优化及最优控制计算研究：精确罚函数途径

【摘要】在本论文中,我们提出了新的计算方法来解决最优化及最优控制中的四类问题。在第一章,我们对最优化及最优控制的基本理论与方法做一个简单的介绍。在第二章,我们考虑一类具有连续不等式约束的最优化问题(半无限规划问题)。首先我们利用具有积分形式的光滑函数来逼近连续不等式约束。然后,我们构建了一个新型的精确罚函数,将所有的具有积分形式的光滑函数的和(又称约束违反度)加入到目标函数中。通过这种方式,我们得到了一系列的无约束最优化问题。我们证明了当罚参数足够大时,相应的无约束问题的任意的局部极小点都是原问题的一个局部极小点。最后我们通过一系列的数值实验验证了所提出的方法的有效性。通过与现有的其他方法对比我们可以看到,我们得到了目前最好的目标函数值,而更为重要的是,通过我们的方法所得到的解是可行的。在第三章,我们主要是研究了信号处理中的全通可变分数延迟滤波器的设计,在这一具体问题中,滤波器的决策变量可以表示为带有正负号的二进制小数的和的形式,而其中所需要优化的是加权的积分平方误差。在本章,我们提出了新的算法来得到一个被缩小的离散搜索区域,而在此搜索区域中寻找问题的局部极小点就要简单的多。最后,我们利用精确罚函数方法来对这一问题进行求解,两个实际算例表明与传统的量子化方法相比,我们所得到的解精度更高。在第四章,我们考虑了一类离散值最优控制问题,其中控制函数只能在一个离散集合上面取值,并且该问题也包含了连续不等式约束。在本章中,我们通过引入一个辅助控制函数再利用时域变换方法并添加额外的线性与二次约束,将原问题从形式上转化为一个等价的从一个连续集合上面取值的最优控制问题。然而,由于存在新的二次约束,传统的优化方法在对这一问题直接求解时效果不佳,我们通过利用一类新型的精确罚函数来对不满足的约束进行惩罚,构造了一系列的逼近的最优控制问题,而这些最优控制问题都可以被现在的最优控制工具如：MISER3.4求解。收敛性结果表明,当罚参数充分大时,逼近问题的任意局部极小点都是原问题的局部极小点。最后,我们通过两个实际的火车驾驶的例子来验证了所提出的方法的有效性。在第五章,我们则重点研究了一类复杂的含有约束的非线性时滞最优控制问题。我们提出了一种新的计算方法将经典的控制参数化方法与一种混合的时域变换方法相结合来解决这类问题。新方法包含了用分段常数函数来逼近控制函数,其中控制函数的控制值和切换时间都是需要优化的决策变量,然后通过混合的时域变换方法对其进行转化,使得更容易求解。这里我们所提到的混合的含义指的是经过转换后的动态系统包含了转换前的时间变量上所定义的时滞状态和时滞控制,以及转换后的新的时间变量上所定义的一般控制和状态。这与一般的时域变换方法有着本质的区别。为了验证所提出的方法的有效性,我们测试了两个算例,结果表明利用新提出的方法能够得到更好的目标函数值以及显著减少控制切换次数。在第六章,我们主要是对现有工作进行总结,并对将来的研究做出了展望。第一章：最优化与最优控制基本理论介绍1.1：最优化理论介绍自上世纪50年代以来,最优化与最优控制的理论和算法的研究一直是热点,广泛存在于金融,工程,能源,国防等各个领域。最优化与最优控制的相同之处在于都是通过选择适当的决策变量,使得在满足一定约束的条件下,目标函数值达到最优(极大或极小)。最优化与最优控制的主要不同之处则在于最优控制问题中包含了一个动态系统,并且最优控制中的决策变量是一个可测的函数,而最优化问题的决策变量一般是一个与时间无关的静态向量。一般说来一个最优化问题可表示为如下的形式：x∈X,其中x∈Rr是决策变量；f(x),gi(x),i∈I,以及hj(x),j∈ε,是定义在Rr上的函数；I和ε是不等式约束与等式约束所对应的指标集合。X是Rr的一个子集合,一般是定义为如下的边界约束a≤x≤b,这里a和b是相应的决策变量x的下界与上届。函数f(x)被称为目标函数。gi(x)≤0,i∈I,被称为不等式约束,而hj(x)=0,j∈ε则被称为等式约束,我们将该问题记为问题P。1.1.1：无约束优化问题在问题P中,若I=ε=θ,X=Rr,则该问题就被称为是一个无约束优化问题。我们将该问题记作为问题Pu。下面我们介绍在最优化理论中包含了的一些基本定义：·定义1.1：无约束优化问题的局部极小点；·定义1.2：无约束优化问题的全局极小点；·定义1.3：目标以及约束函数的Hessian矩阵；·定义1.4：正定与半正定矩阵;·定义1.5：目标函数的下降方向。以及基本定理·定理1.1：无约束优化问题的一阶必要条件；·定理1.2：无约束优化问题的二阶必要条件；·定理1.3：无约束优化问题的二阶充分条件。并给出了求解无约束优化问题的一个下降算法。随后,介绍了几类常见的无约束优化方法如：·最速下降法；·牛顿法；·拟牛顿法；·共轭梯度方法。1.1.1：约束优化问题问题P被称为约束优化问题若I或ε或二者均为非空集合。对于约束优化问题P,一个向量x若其满足问题P的所有约束,则被称为问题P的可行解。所有可行解所构成的集合被称为可行域。而当目标函数与所有的约束函数均为线性函数时,我们称问题P是一个线性规划问题。否则,问题P被称为是非线性规划问题。线性规划问题可以被许多现有的优化方法高效求解,这其中包含了由Dantzig在1940年代提出的著名的单纯型方法以及1980年代所提出的内点方法。对于线性规划问题,若存在全局最优解,则其一般能够被找到。然而,对于非线性规划问题,其全局最优解一般很难找到。因此,人们一般是寻找非线性规划问题的局部最优解x,即在其某个领域内具有最优函数值的可行解。刻画约束优化问题的可行解的一个重要的结果是Karush-Kuhn-Tucker(KKT)条件,这是刻画局部最优解的一个必要条件。目前,在各类文献中,已经有许多求解非线性规划问题的方法。对于目标函数以及约束函数同为非线性的情形的一般非线性规划问题,序列二次规划方法以及基于牛顿法所设计的数值算法都是较为流行的方法。下面我们给出约束优化问题的一些基本定义：·定义1.6：可行解的起作用约束集；·定义1.7：可行解的可行方向锥；·定义1.8：线性无关约束规格(LICQ);·定义1.9：拉格朗日函数；·定义1.10：关键锥。以及一些重要的约束优化问题的最优性条件：·定理1.4：一阶必要条件(KKT条件)；·定理1.5：二阶必要条件：·定义1.6：二阶充分条件；·定义1.9：拉格朗日函数；·定义1.10：关键锥。下面我们简要的介绍一些常见的处理约束优化问题的方法。·罚函数方法与增广拉格朗日函数方法；·序列二次规划方法(二次规划)；·内点法；1.1.1：最优控制问题一般说来,最优控制问题比静态的最优化问题更为复杂。对于一个最优控制问题来说,其包含了最优化问题中所不存在的动态系统,而且其决策变量是关于时间的函数。在这里,我们将对最优控制理论的一些基本结果做一个简单的介绍。考虑由下面的微分方程所构成的动态系统：其初始条件为：其中x(t)=[x1(t),…,xr(t)]T被称为t时刻的状态向量；x(t)=dx(t)/dt;u(t)=[u1(t),…,un(t)]T被称为t时刻的控制向量；f=[f1,…,fr]T是给定的连续可微的向量值函数;x0∈Rr是一个给定的向量一般称为动态系统的初始状态或初始条件。系统从初始状态x0以及时刻t=0开始变化,直到时间t=T,这里T被称为终端时间。令S为Rn的一个有界子集。一个可测函数u:[O,T,]→S被称为可允许的控制函数。令U为所有的可允许控制类。下面我们给出一个简单的最优控制问题。对于给定的动态系统(2)-(3),找到一个可允许控制u∈U使得下面的目标函数：极小化,这里Φ0和L是给定的连续可微函数。将该问题记为问题Pc。我们给出了最优控制理论中重要的理论结果：Pontryagin极小值原理以及Bellman最优原理。然而,对于大多数的现实问题,通过利用Pontryagin极小值原理或者是求解Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程来得到解析解都太过复杂。而且还存在着各种各样复杂的现实约束。正因为此,求解最优控制问题的数值计算方法就引起了众多工程师与数学工作者的兴趣。当前文献中已经有许多成熟的计算方法。文献中给出了基于有限差分和有限逼近的数值方法来求解HJB方程。然而,这些方法仅仅适用于小规模的问题。在中,作者基于必要最优性条件提出了多点投射方法。这些多点投射方法一般能得到一个好的解,但却对最优控制的初始估计非常敏感。控制参数化方法[25]是另一类求解最优控制问题的数值方法。其主要思想是利用有限个基本函数如：分段常数函数,来逼近控制函数。这些基本函数的系数就变成了需要优化的决策变量。通过这样的逼近的过程,就得到了一个近似的最优化问题。在传统的控制参数化技巧中,控制值改变的时间—切换时间一是固定的。从直觉上,切换时间也应该被当成是决策变量。然而,目标函数对切换时间的导数的计算相当的敏感。因此利用基于梯度信息的最优化方法来求解最优控制问题其效果均不理想。并且当切换时间变化时,求解动态系统也将变得更为繁杂。为解决这一问题,中提出了一类时域变换方法。通过引入一个新的时间变量和新的控制函数,这种变换技巧将当前的时间轴变换到了一个新的时间轴,从而使得新的时间轴上的切换时间是固定的。最优控制问题中的另一大难点是对连续不等式约束的处理,在中提出了一类约束变换方法来处理只包含状态的连续不等式约束,随后在中,被扩展到可以处理同时包含状态以及控制的连续不等式约束。目前,已经有许多基于控制参数化方法并结合时域变换方法和约束变换方法的数值方法被提出用于解决各类的最优控制问题,并基于这些方法,开发了一个通用的最优控制软件MISER3.4[39]。最近,一种新型的精确罚函数方法被提出用于处理不同类型最优控制问题中的连续不等式约束。产生了新的求解含有连续不等式约束的最优控制问题的有效方法。第二章：一类求解半无限规划问题的新的精确罚函数方法2.1：引言工程设计中的许多实际问题如：抗震结构设计、多输入多输出控制系统、宽带功率放大器、以及机器人轨道规划等,都可以被描述为半无限规划问题。一个一般的半无限规划问题可以表示为如下形式：其中x∈Rn是决策向量,Ω是R上的一个紧的区间,对每个j=1,…,m,f：RN→R关于x连续可微,gj:Rn×R→R关于x和ω连续可微。令该问题记为问题(P)。由于在(5B)中存在无穷多个不等式约束,直接求解问题(P)一般比较困难。自1970年以来,半无限规划问题的研究逐渐成为热点,目前已经有了许多重要的工作如：目前存在的主要方法包括交换方法,离散化方法,对偶参数化方法,基于约束变换技巧的方法,以及基于局部下降的方法。在中,我们提出了求解含有连续不等式约束的最优化问题的精确罚函数方法。该方法的主要思想是对不满足约束的项进行惩罚并添加到目标函数中,构成了如下的精确罚函数：其中在本章,我们提出了一类新型的罚函数来求解半无限规划问题。在新的方法中,将不满足的约束的对数函数形式添加到目标函数中,构成了一个新的精确罚函数fσ(x,ε)。得到了在ε>0约束下的一系列的最优化问题。我们证明了当罚参数足够大时,这些最优化问题的任意的局部极小点都是原问题的局部极小点。2.2：新的精确罚函数考虑问题(P),定义这里是固定的常数,γ是正实数。显然,问题(P)等价于如下问题,我们将其记为问题(p)。这里S0=S∈,∈=0。我们假设如下条件成立：2.A1.问题(P)存在一个全局极小点,这表明f(x)在S0上有下界。2.A2.问题(P)的目标函数存在有限个不同的局部极小值。2.A3.当‖x‖→∞时,f(x)→∞,这里‖x‖记作向量函数x的欧式范数。我们给出新的精确罚函数fσ(x,∈)的定义：这里△(x,∈)也被称作是约束违反度,其定义如下γ是正实数,β>2,而σ>0是罚参数。下面我们引入一个替代的最优化问题,称其为问题(Pσ)如下：满足与中所提出的精确罚函数从可行域的外部来逼近最优解相比,我们新提出的精确罚函数(9)更像是传统的障碍罚函数。然而与障碍罚函数所不同的是,我们并不要求在问题的可行域内部来选择初始点。我们需要在可行域的附近找到一个初始点即可。观察对数函数log(1-Δ(x,∈)的形式,显然新提出的精确罚函数的约束违反度的上界为1。这就迫使迭代点始终保持在可行域的一个小的邻域之内。当罚参数σ足够大时,约束违反度将被逐渐减小,这就意味着的取值必须下降,最终使得连续不等式约束得到满足即2.3：收敛性分析对每个正整数k,令(x(k),*∈(k),*)是问题(Pσk)的一个局部极小点。为了得到主要的理论结果我们需要如下的引理,引理0.1：令(x(k)*,∈(k),*)是问题(Pσk)的一个局部极小点。假设fσk(x(k)&*,∈(k),*)有界,并且ε(k),>0。则这里Sε(k),的定义由(7)给出,其中ε=ε(k),。我们还需要如下的定义：定义0.1：若下面的推导则,φj(ω))=0,(?)ω∈Ω,j=1,…,m,是成立的。则我们称连续不等式约束(5b)在x=x处满足约束规格,根据条件(A3),序列(x(k),*,∈(k),*)的聚点的存在性可以得到保证,令引理0.1的条件均满足则我们可以有下面的定理定理0.1：假设(x(k),*,∈(k),*)是问题(Pσk)的一个局部极小点,且满足fσk(x(k),*∈(k),*)有界,以及∈(k),>0。若k→+∞时,(x(k),*,∈(k),*)→(x*,∈*),并且连续不等式约束(5b)在x=x处满足约束规格,则E=0且x∈S0。下面的定理表明,在某些一般的假设条件下,fσ(x,ω)连续可微且具有连续的极限。定理0.2：假设g若则定理0.3：存在一个k0>0,使得对于任意的k≥k0,对于罚问题的每个局部极小点(x(k),*,∈(k),*)若其对应的目标函数值fσk(X(k),*,∈(k),*)是有限的,则其形式均为(x,0),其中x是问题(P)的局部极小点。从以上定理我们可以知道,在一些一般的假设条件以及文中所定义的约束规格下,当罚参数σ充分大时,罚问题(Pσ)的一个局部极小点,就是原问题(P)的局部极小点。最后我们通过一系列的数值实验验证了所提出的方法的有效性。通过与现有的其他方法对比我们可以看到,我们得到了目前最好的目标函数值,而更为重要的是,通过我们的方法所得到的解是可行的第三章：具有带符号的二进制系数的全通可变分数延迟过滤器的设计3.1引言具有可调节分数相位延迟或者分数群延迟的数字滤波器一般被称为可变分数延迟滤波器(VFD),这类滤波器在许多信号处理的问题中有着广泛的应用。对于基于有限脉冲响应的VFD滤波器的设计,可以通过选择不同的需求特征来表示为一个近似的最优化问题。对于这类逼近问题,求解一般比较简单。在中,考虑的主要是全通VFD滤波器的设计,这类滤波器的优点是相比FIR滤波器而言,它们可以达到更高的设计精度,以及得到更小的频率响应误差。然而,由于全通VFD滤波器具有无限脉冲响应,调整其系数将会导致不必要的瞬态响应。一般说来,瞬态响应依赖于输入信号的强度,系数的个数以及脉冲响应衰减的速度。用于消除不必要的瞬态响应的研究可以在中找到。文献中考虑了具有最小二乘目标函数以及极小-极大群延迟误差的全通VFD滤波器的设计问题。而在中,则讨论了具有极小-极大相位误差的全通VFD滤波器的设计。在和中,作者考虑了具有最小积分平方误差的全通VFD滤波器的设计。所得到的滤波器与所需求的响应有可能会产生较大的偏差,特别是在切断频率处。在中,通过固定分母的系统并迭代更新分子的系数,极小-极大最优化问题得以求解。然而,极小-极大全通滤波器可能产生较大的积分平方误差,并且这种方法只对具有无穷精度系数的全通VFD滤波器有效。在实际实现过程中为便于操作,许多方法被提出用于设计低复杂性的滤波器。其中最普遍的策略是在带符号的二进制空间中优化滤波器的系数,这里每个系数都被表示为一系列的带符号的二进制数的和(SPT)。这类问题可以被转化为传统的整数规划问题,从理论上可以被许多现有的优化方法求解,如：。模拟退火算法和基因算法也被用于设计带SPT系数的数字滤波器的设计。在中,作者提出了一个两步骤算法来设计具有SPT系数的FIR滤波器。第一步是通过使用最速下降法来找到一个局部极小点,在第二部设计了一种离散的填充函数方法来找到更高的局部极小点。在现有的方法中量子化方法由于其简单易实现,在寻找SPT解时应用最为广泛。在本章中,我们主要是研究最小二乘准则下的具有SPT系数的全通VFD滤波器的设计。通过利用的近似手段,问题的目标函数被一个只有唯一解的二次函数所逼近。基于该唯一解,通过设计一个两步算法得到了一个包含了全局最优解的一个较好的搜索区域。最后,我们通过精确罚函数方法来求解在新的搜索区域上定义的二次整数规划问题。3.2：问题构造考虑一个全通VFD滤波器的设计问题,其所需要的频率响应Hd(ω,p)是这里N是固定的群延迟,p是在P=[p0,p0+1]内连续变化的分数群延迟,且全通滤波器的每个系数可以被表示为如下的p的一个多项式为了便于实现,系数Cn,m被表示为如下的SPT形式：这里di,n,m∈{-1,0,1),i=1,…,b,b是字长的位数,n=1,…,N,m=1…,M。定义且此外,令N1记做所有系数所使用的SPT的项数的和的上界。于是,下面的约束必须被满足全通滤波器的频率响应为：令则(18)可以被写为：这里,R’(C,ω,p)是R(C,ω,p)的复共轭。令则我们的设计目标是要选择具有(16)形式的系数Cn,m使得目标函数被极小化,且满足约束(17),这里W(ω,p)是一个正的加权函数。同时我们假设W(ω,p)是可分的,即其中M(ω)和W2(p)是分段常数函数,我们将该问题称为问题(P)。问题(P)是一个带约束的非线性整数规划问题,我们注意到对每个n=1,…,N以及n=1,…,M,cn,m具有最多2b+1-1个选择。这是十分巨大的一个数量,从而也导致了问题难以求解。一个很自然的想法就是缩小Cn,m的搜索区域。由于问题(P)的目标函数是二次的,问题(P)的精确解附近的离散点对Cn,n来说都是好的选择点。因此我们将采用下面三个步骤来解决问题(P)。Ⅰ.得到问题(P)的精确的最优解。Ⅱ.在步骤1所得到的极小点附近寻找一个合适的搜索区域。Ⅲ.在步骤11所得到的区域内找到一个点极小化目标函数。3.3：搜索区域的构造构造一个缩小的搜索区域,其主要思想是令1,…,M)为问题(P)的精确最优解。对于C的每个分量Cn,m,新的搜索区域将包含离Cn,m最近的离散点。若最近的离散点并不满足最大允许SPT的数量的约束,我们就更新搜索区域使其包含了下一个最靠近精确解的离散点而该离散点所包含的SPT数量比之前的点少一项。通过不断重复该步骤直到约束(17)被满足。下面,我们将给出两个算法来构造这样一个缩小的搜索区域。这两个算法主要是基于下面两个基本定理。首先我们注意到下面的一个二进制编码的基本事实：令i和j为任意整数且满足i,j>0。若i<j,则有接下来我们需要用到下面的定义这里E∈Zb。定理0.4：令n+以及n-代表向量x中“1”和“-1”的个数。于是有,对任意的E∈Zb,存在一个唯一的x∈,(?)E满足n+n-=0。从定理0.4,我们可以看到对于任意的E∈Zb,存在一个唯一的y=[y1,…,yb]T满足其中由定理0.4,我们可以得到对于α={α1,…,αb}以及β={β1,…,βb},任意的等价变换都可以通过(20)来得到。此外,当j-i≥2时,(20)左边的非零元素的数量小于或等于它右边的非零元素个数。根据这一性质我们首先给出下面的算法来找到这样一个y=[y1,…,yb]T使得其所含的非零元素个数是最少的。算法1Step1:对任意的E>O,根据(21)找到y。Step2:找到中所有的形为“的排列,这里m≥2。将它们替换为Step3:重复步骤2,直到不存在形为“的项,这里m≥2。并将最后得到的系数记作y1,…,yb]T。Step4:找到[y1,…,yb]T中所有形为“-1,1”的项。将它们替换为“0,-1”。将所得到的系数记为[y1,…,yb]T。Stop.这里XE是最少非零元的个数,即且下面的定理表明,由算法1所得到的y=[y1,…,yb]T含有最少非零元个数。定理0.5：对任意的E>0,这里E∈Zb,令y=[y1,…,yb]T为由算法1所得到的系数向量,满足这里yi∈{1,0,1｝。则y具有最少的非零元个数。注释0.1：对于E<0的情况,可以通过类似于算法1的步骤来得到一个y其中包含了最少的非零元素。同时,我们也注意到定理3.1和定理3.2的结果是二进制表示的重要理论结果。下面,我们将提出一个算法来为问题(P)找到一个缩小的搜索区域。该算法的主要思想与量子化方法比较类似。在传统的量子化方法当中,直接用一个离精确解Cn,m最近且绝对值最大的离散解来逼近Cn,m。而在我们的算法中,我们则是利用量子化方法替每个系数Cn,m找到一个搜索区域。如果在当前的搜索区域中不存在一个可行解,我们就选择一个特定的指标来更新其搜索区域,并不段重复这一步骤,直到在更新的搜索区域中至少包含了一个可行解。通过我们所提出的新算法所得到的搜索区域包含了量子化方法所得到的解。为了更好的理解我们所提出的算法的工作机制,我们考虑下面的例子。考虑字长为b=10的情况。令C为一个二维向量[0.1197,0.8071]T。于是,对于C的每个元素其搜索区域可以通过下面的表得到1。表1：C+的搜索区域以及相对应的SPT数量由XM的定义,我们可以发现XM=8.如果最多可以利用的SPT数量是N1≥8,由表1可以看到C1=0.1197和C2=0.8071的搜索区域是然而,若N1=7,则其搜索区域则是显然,在C1=0.1197的搜索区域中,0.1201171875被0.12109375所替换。这是因为因此,经过更新的搜索区域至少包含了一个可行解。为了在新的搜索区域内求解问题,我们可以通过引入连续的变量以及一些线性与二次约束,来将相应的整数规划问题等价转化为一般的连续的非线性规划问题。然而新引入的二次约束并不满足线性无关约束规格,因此基于梯度的一般优化方法表现非常的糟糕。因此,我们选择利用精确罚函数方法[83]来解决这类问题。3.4：一个新的精确罚函数方法对每个Cn,m,其中n=1,…,N,m=1,…,M,令Mnm1,m为通过算法2所得到的缩小的如下的搜索集合：则问题(P)近似于如下问题：其中Cn,m∈Mn,m,1n=1,…,N,m=1,…,M.将该问题记为(Pd)。显然,问题(Pd)是一个整数规划问题。我们将根据文献中所提出的方法来求解这类问题。首先,我们假设对于每个n=1,…,N以及m=1,…,M,Mn,m1具有ln,m个不同的元素即：其中n=1,…,N且m=1,…,M。我们接着引入新的变量αn,m,j,这些变量满足其中n=1,…,N,m=1,…,M,,j=1,…,ln,m。现在我们考虑如下问题：满足以及约束(23),(24)以及(25),这里n=1,…,N,m=1,…,M。我们将该问题记为(P)。需要注意的是,问题(Pd)与问题(P)是等价的。正如文献中所指出的,通过现有的优化方法,不等式约束(24)非常难以满足。因此我们将引入下面的精确罚函数方法来解决这类问题。这里∈>0是一个新的决策变量,而约束违反度△(α,ε)由下面的形式定义这里,β,γ以及77是正的实数K是罚参数。现在我们考虑下面的问题：我们将该问题记为(Pk)。通过与第二章类似的收敛性分析,我们可以证明在一些一般的假设条件下,当罚参数足够大时,罚问题(Pk)的局部极小点就是问题(P)的局部极小点。最后,我们对两个实际算例进行数值实验,结果表明与传统的量子离散化方法相比,利用我们所提出的新的方法所得到的解其精度更高。第四章：最优离散值控制计算4.1引言对于许多实际的最优控制问题,其控制只能在一个具有有限离散值的集合内取值,这类问题一般被称为离散值最优控制问题。这类问题广泛存在于：火车控制[84],切换功率放大器设计[85],潜艇充电操作,传感器分布[87]以及混合动力系统设计等。要求解一个离散值最优控制问题,我们需要确定不同的控制值的分布顺序,以及从一个离散值切换到另一个离散值的切换时间。由于控制值的分布顺序从本质上来说是离散的,传统的最优控制方法无法解决这类问题。在第二章,我们提出了一类新的精确罚函数方法来求解半无限规划问题,在中,扩展了这一思想将其应用于一般最优控制问题的求解,本章的主要内容是基于等文献的工作。我们考虑一类离散值最优控制问题,其中对于控制的切换次数我们引入一个上界。我们首先利用文献[90]的变换方法,在该变换之下,离散值控制被表示为一个分段常数控制的线性组合,并引入了一系列的线性等式约束以及二次不等式约束。经过这一变换,原问题可以被等价的写成一个在原约束以及新的线性几二次约束下的,控制取分段常数函数的最优控制问题。再通过使用时域变换方法,得到了一个具有固定切换时间的最优控制问题。为了解决这一问题,我们还是利用了前面所提出的精确罚函数方法来处理新引入的线性以及二次约束。最后的数值结果表明,我们所提出的新的方法是有效的。4.2问题构造4.2.1一个离散值控制问题考虑在时间轴[0,T]上所定义的动态系统：其初始条件与终端条件为这里x∈Rn是状态向量,T是给定的中断时间,x0和xf是给定的向量。我们假设函数f：Rn×Rr→Rn对其所有的分量都是连续可微的。令这里,每个uj∈Rr都是给定的向量。我们假设控制u是一个在U上取值的离散控制。因此u完全由下面的条件所决定：·U上不同控制值切换的顺序,即切换顺序；·U上不同控制值切换的时间点,即切换时间。在本章,我们假设控制的切换次数存在一个上界N。一个函数u：[0,T]→U且具有最多N个切换点被称为一个可允许控制。令U记为所有该类控制函数的集合。我们所要讨论的离散值最优控制问题可以被表述为：给定动态系统(30)-(31),找到一个可允许控制u∈U使得目标函数被极小化,且满足约束我们将该问题称为问题P。这里,我们假设函数Lo以及gj,i=1,…,p,对他们的每一个分量都是连续可微的。绝大多数求解非线性最优控制问题的数值方法如：控制参数化方法[25]以及状态离散化方法—仅适用于控制函数在连续区间上取值的情形。因此,这些方法对我们所考虑的问题P是不适用的。在[27]中,一种新型的控制参数化(CPET)被引入用于求解离散值最优控制问题,该方法的主要思想是扩张控制切换的次数来得到所有的切换顺序的可能性,再将可变的切换时间映射到一个新的时间轴上的固定点。这就得到一个新的最优控制问题,并且该问题可以被传统的最优控制的数值方法求解。然而,这一方法的不足之处在于添加了许多人工的切换次数,所得到的控制函数包含了过多的切换,一般来说无法满足对于最多切换次数的约束。因此,利用[27]中所提出的方法所得到的转换后的最优控制问题与原离散值最优控制问题是不等价的。为此,在本章中我们将引入一种等价的变换方法。4.2.2问题转化令V为所有的从[0,T]到Rm上的且包含不超过N个切(?)的所有的分段常数函数所构成的类。令v∈V,这里v(t)=[v1,(t),v2(t),…,vm(f/]T,是一个辅助控制函数。我们引入下面的约束：约束(34)保证了在任意时间t∈[0,T],只存在一个j∈{1,…,m｝满足对于所有的k≠j,vj(t)=1以及vk(t)=O。下面,我们令由于v∈V且约束(34)成立,对于所有的t∈[0,T],有u(t)∈U。此外,由于v包含了最多N个切换,并且u也一样。我们可以知道u是问题P的一个可允许控制。事实上,我们不难看到问题P的任意一个可允许控制都可以写为(35)的形式。因此,通过将u(t)=u(t)代入动态系统(30),我们可以得到类似的,约束(33)变为于是我们得到了新的最优控制问题如下：给定动态系统(36)及其初始和终端条件(31),找到一个控制v∈V使得目标函数被极小化,同时满足约束(34)和(37)。我们将该问题记为p。显然问题p与问题P是等价的。因此我们有如下的结果：定理0.6：令且则v是问题p的最优控制当且仅当u是问题P的最优控制。4.3求解过程4.3.1时域变换方法我们注意到问题p的控制v∈V最多包含N次切换。令τk记作第k次切换时间。于是我们有我们通过下面的方法将这些切换时间映射到新的时间轴上的固定时间点。令s∈[0,N+1]是一个新的时间变量,令t和s满足下面的微分方程：这里,对于s∈[k-1,k),k=1,…,N+1,μ(s)=θk=τk-τk-1。我们可以将分段常数函数μ展开为如下形式这里X1是关于I的指标函数,其定义如下令θ=[θ1,…,θN+1]T∈RN+1,并注意到θk=τk-τk-1是第k个控制值的持续时间。对于每个k=1,…,N+1,我们有这就表明变换(38)将整数k映射为第k个切换时间。此外,显然,因此我们有在时域变换之后,问题p的控制vj就变为这里ξjk是vj在区间[τk-1,τk)上的取值。约束(34)就变为：我们令且现在,通过对问题p进行时域变换,动态系统(36)就变为这里而原问题的初始与终端条件(31)就变为经过变幻,现在问题p就可以被等价的表述为如下问题,我们记为p：给定动态系统(42)-(43),寻找θ∈RN+1以及ξERm×(N+1)使得目标函数这里被极小化且满足如下的约束以及约束(39),(40)和(41)。接下来,我们就可以通过本论文前面所提出的精确罚函数方法来求解问题p。4.3.2一个精确罚函数问题p是一个最优控制问题,满足线性约束(39),(41a),(41c),二次约束(41b),以及非线性连续不等式约束(45)。而连续不等式约束(45)对其每个分量都是连续可微的。根据本文第二章以及[41]的思想,我们构造如下的精确罚函数：这里∈>0是一个新的决策变量,而约束违反度△(θ,ξ,ε)定义如下这里,α,β以及γ是正实数,而k是一个罚参数。下面,我们定义现在我们考虑下面的问题：给定动态系统(42)-(43),找到(使得罚函数Fk(θ,ξ,∈)被极小化。我们将该问题记为Pk。4.3.3收敛性分析我们首先需要下面的定义定义0.2：若下面的推倒成立:对任意的s∈[0,N+1]。则我们称约束Gl以及Hη在(θ,ξ)=(θ,ξ)处满足约束规格。这里Gl,l=1,…,M=p+(3m+1)(N+1),以及Hη,η=1,…,N=N+3,分别是p的不等式以及等式约束。令{kl｝∞l=1,是一个逐渐增加的罚参数序列,且满足kl→∞。此外令是问题Pkl的一个局部最优解。我们假设下面的条件都成立。(H1)在(θ,ξ)=(θ,ξ)处满足定义4.1中的约束规格,这里(θ,ξ)是问题p的一个局部最优解。(H2)存在实数δ1>0以及δ2>0使得且定理0.7：当l→+∞时,若(θ(l),ξ(l),∈(l),)→(θ,ξ,ε),并且假设(H1)-(H2)成立。则有,E=0且(θ,ξ)∈S0,其中S0由(46)定义且满足∈=O。定理0.8：假设则有定理0.9：当l→+∞时,若并且参数α以及γ满足定理0.8中的同样的条件。则存在一个l0>0满足∈(l),=0并且(θ(l),ξ(l),)=(θ,ξ),对于所有的l≥l0成立。此外,(θ,ξ)是问题p的一个局部最优解。从上面的结果我们可以看到,在某些一般的假设下对一个充分大的K,问题Pk的一个局部最优解是问题p的一个局部最优解。而这个解就可以用来构造问题P的一个相应的局部最优解。注意到问题Pk是一个标准的最优控制问题且具有固定的控制切换点,因此可以通过现在的最优控制软件来求解。第五章：一种处理时滞最优控制问题的混合时域变换方法5.1引言若一个动态系统中包含了过去时间的状态或者控制,我们称这类系统为时滞系统。时滞系统广泛存在于工程与自然科学中,包含了药物研究,空间工程,以及化学反应器控制。在过去的30多年中,时滞系统的最优控制一直是一个研究热点,目前的许多文献都致力于推导时滞最优控制问题的必要最优性条件,然而除了对一些极为简单的情况,一般很难找到最优控制的解析形式。因此必须要通过数值方法来求解这类问题。目前,最为流行的一种数值方法是控制参数化方法,其主要思想是利用一系列的定义在固定子区间上的基本函数的线性组合来逼近控制函数。通过这种逼近的过程就得到了一个原最优控制问题的有限维的近似问题,而且其线性组合的系数就是需要优化的决策变量。这个得到的近似问题就可以被标准的基于梯度的优化方法来求解。对于传统的控制参数化方法,由于其对时间区间的划分是固定的,为了得到一个较为精确的控制函数,一般需要对时间区间进行较为细致的划分从而产生了较多的决策变量。为了处理这一问题,一个自然的解决方案是令控制切换时间为变量。然而,这一方案也会导致优化计算中的困难。为了克服由可变切换时间所导致的困难,在中,通过将控制参数化方法与时域变换方法相结合,通过这一技巧可以顺利地利用基于梯度的最优化方法来求解一般的最优控制问题。而对于时滞系统,由于在动态系统中存在时滞,而控制或者状态中的时滞是提前确定的。因此,应用时域变换方法之后,想要在新的时间轴上找到时滞状态和时滞控制就变得非常复杂。为了克服这一难题,在本章中,我们首先利用控制参数化方法来将时滞最优控制问题转化为一个包含动态系统的最优化问题,而其中控制的切换时间是其决策变量。然后,我们设计了一个新的混合时域变换方法来将可变的切换时间映射到新的时间轴上的固定点。我们新提出的方法与原时域变换方法的不同之处在于新提出的混合时域变换方法仅仅将原时间轴上的状态x(t)以及控制u(t)映射到新时间轴上的x(s)以及u(s),而同时时滞状态x(t-h)和时滞控制u(t-h)仍然在原时间轴上定义。这就意味着新的动态系统包含了在新时间轴上定义的当前状态与控制以及在原时间轴上所定义的时滞状态与时滞控制。最后,我们推导出具有特殊形式的目标函数与约束的梯度,舍得可以通过基于梯度的最优化方法来求解时滞最优控制问题。5.2问题构造考虑定义在时间区间[-h,T]上的时滞系统：这里x=[x1,…,xn]T∈Rn是状态向量,u=[u1,…,ur]T∈Rr是控制向量,h是给定的时滞,满足0<h<T,f:Rn×Rn×Rr×Rr→Rn以及Φ：[-h,0]→Rn是给定的连续可微函数,以及φ：[-h,0)→Rr是给定的分段连续函数。为了表示方便,我们在本章中仅考虑(48)只包含单一时滞的情况。然而,本章所推导的结果可以容易的推广至包含多时滞的情况,这里面也包括状态与控制中的时滞不同的情形。令U是Rr上的一个紧凸子集。对于一个Borel可测函数u：[-h,T]→Rr,若对几乎所有的t∈[0,T],有u(t)∈U,以及对所有的t∈[-h,0)有u(t)=φ(t),则u被称为是一个可允许控制。将所有的这类可允许控制记为U。对每个u∈U,令x(·u)记作在(0,T]几乎处处满足微分方程(48),以及在[-h,0]几乎处处满足初始条件(49)的相应的绝对连续函数。我们的时滞最优控制问题可以表述为如下形式：给定动态系统(48)-(50),找到一个可允许控制u∈U使得目标函数被极小化同时满足如下的标准等式约束以及标准不等式约束这里Φi:Rn→R,i=0,1,…,Ne+Ni,以及Li:Rn×Rn×Rr→R,i=0,…,Ne+Ni,是给定的实值函数。我们将该问题记为问题(P)。在本章我们假设如下条件成立：5.A1.存在一个正常数C满足t5.A2.Li:Rn×Rn×Rr→R,i=0,..,Ne+Ni,以及Φi:Rn→R,i=0,1,..,Ne+Ni,对于他们的每个分量都是连续可微的。5.3数值求解方案5.3.1控制参数化方法我们将时间轴[0,T]分为q≥1个子区间。令tj,j=0,…,q,为这些子区间的端点,这里t0=0andtq=T。我们引入如下的约束：这里∈>0是每个区间的最短长度。于是我们就可以用如下的分段常数函数来逼近控制函数：这里并且对每个j=1,…,q,指标函数R的定义如下显然,对每个t∈[0,T],要么t-h<0或存在某个k=1,…,q满足t*h∈[tk-1,tk)。若t-h<0,贝u(t-h)=φ(t-h)；若t-h∈[tk-1,tk),则u(t-h)=δj。因此,对每个j=1,…,q,将(54)代入(48)就得到了定义在子区间[tj-1,tj)上的新的系统：(55)这里,近似控制(54)完全由切换时间tj,j=1,…,q,以及控制参数δj,j=1,…,q所决定。因此经过实施控制参数化方法,原始的最优控制问题就变成了如下的一个有限维的动态最优化问题：给定(49),(50)以及(55),选择一个向量δ以及切换时间点σ=[t1,…,tq-1]使得目标函数被极小化,并同时满足如下的标准等式约束以及标准不等式约束我们将该问题称为问题(P(q))。5.3.2混合时域变换方法对于本章所考虑的时滞最优控制问题,令θi=ti-ti-1为第i个子区间的长度,由于时滞h是一个固定的常数,而θi是一个决策变量,若θi改变,则在新的时间轴上所对应的时滞的时间点也会随之改变。在应用传统的时域变换方法之后,要找到新的动态系统中的时滞状态和时滞控制就变得非常的复杂。同时也导致了现在的最优控制软件MISER3.3无法用于求解这类时滞最优控制问题。下面,我们就引入一种新的混合时域变换方法来处理这一特殊的问题,通过应用该转换方法我们可以在享受传统时域变换方法的高效的同时,轻松的找到时滞状态以及时滞控制的值。我们定义从[0,q]到原始时间轴[0,T]上的一一映射如下：这里是向下取整函数。我们可以观察到令x(s)=x(μ(sθ)),通过应用时域变换方法我们可以得到下面的新的微分方程：其初始条件为对于新时间轴上的任意时间点s以及一个给定的θ,显然新时间轴上的时滞时间是s和θ的函数,接下来,我们将新时间轴上的时滞时间点记作Sdelay而在原时间轴上的时滞时间记作telay,即对于s∈[i-1,i),i=1,…,q,新的动态系统(62)可以写为：(64)这里J是一个指标,满足1≤j≤i。由(59)和(63)可知,当μ(sθ)-h≥0时,新时间轴上的时滞时间点Sdelay可以通过求解下面的方程得到：观察(65),我们发现要找至Sdelay的显式形式非常复杂。为了避免寻找Sdelay的计算过程,我们发现因此,通过将(66)代入(64)我们得到显然,求解微分方程(67)比求解(64)需要更少的计算量。通过控制参数化方法和新的始于变换方法我们得到了如下的新的时滞最优控制问题：对于给定的动态系统(67),找到向量(δ,θ)使得目标函数被极小化,同时满足标准等式约束以及标准不等式约束我们将该问题记为问题(P)。5.3.3梯度公式推导首先,我们给出如下的辅助动态系统其中且而状态对控制变量θ的导数由下面的定理给出定理0.10：对每个证明：令δ以及r∈{1,…,q}是固定的任意向量,er是Rq中的第r个单位向量,于是有这里和是相应的新的时间轴和原时间轴上的时滞时间点且满足下面我们将按照如下的步骤证明本定理一:基本结果对于任意的实数ξ∈R,将函数x(·δ,θξ)记作xξ,由(64)有对于每个ξ∈R这里x(s)代表函数x(·δθ),而Fξ的定义如下：定义应用均值定理我们有,对于s∈[0,q],对于时滞状态的差,我们有由于假设5.A1,我们有状态集合在[0,q]上一致有界,这里a>0是一个固定的小的实数。因此,存在一个实数C1>0满足对每个ξ∈[-a,a],有这里Nn(C1)代表Rn上以圆点为圆心半径为C1的所有的闭球。我们注意到,Nn(C1)是凸的,因此对于每个ξ∈[-a,a]有,此外,可以很清楚的知道对每个ξ∈[-a,a]有,这里C2=θq+a。根据假设5.A2,我们有(?)f/(?)x以及(?)f/(?)θr是连续的。因此,由[O,T],v,Nn(C1),Nq(C2)的紧性和z(sθ)以及φ的定义可以知道存在一个实数C3>0满足对每个ξ∈[-a,a]有,这里fξη代表函数而φξη代表表示的是欧式范数。二:函数Γξ(s)的阶为ξ令ξ∈[-a,a]是任意的。当Sdelay<0时,对(75)的两边取范数,且利用C3的定义,我们可以得到其中因此我们有利用Gronwall’s引理就能得到当Sdelay≥0时,这里P1是新时间轴上的一个时间点并满足由于Sdelay≥0,由Sdelay的定义可以知道再由均值定理,我们有这里￡∈[0,1]。再次利用Gronwall’s引理,我们得到因为ξ∈[-a,a]是任意的,因此函数Γξ(s)的阶为ξ。三:Ρ的定义及其性质对于每个ξ∈R,我们定义相应的函数以及,如下：此外,我们定义函数如下：由于函数Γξ(s)的阶为ξ,我们有对于t∈[0,q]以及77∈[0,1]一致收敛。同时显然有对于η∈[0,1]一致收敛.由于(86)以及(87)的收敛性在球Nn(C1)内的,而(88)的收敛性在球Nn(C2)内的,以及a在紧集上一致连续,对于t∈[0,q],η∈[0,1]以及l∈[0,1]一致收敛,这里sξ,ldelav是控制的相应的时滞时间。这些结果与(81)一起表明了当ξ→0时,以及ξ-1λ3,ξ→0在[0,q]上一致收敛。因此四：结论令ξ∈[-a,0)∪(0,a]是固定的任意点,根据(75)我们有此外,对辅助系统积分得到将(90)乘上ξ’,并在(91)中减去(90)就得到了令很容易可以看到当ξ→0时,Ρ’(ξ)→0。因此再由Gronwall’s引理这里我们注意到ξ∈[-a,0)∪(0,a]可以是任意取值的,我们可以在(93)中令ξ→0并且利用(89)来得到这样定理就得证了。而状态对控制变量δ的导数则由下面的定理给出：定理0.11：对每个这里T(sδ,θ)由下面的微分方程给出：其初始条件为由于问题(P)是一个最优参数选择问题,而我们也已经找到了目标函数以及约束对决策变量的梯度。于是,我们可以利用现有基于梯度最优化方法的最优控制软件包来求解这一问题。
【作者】余长君；
【导师】白延琴；
【作者基本信息】上海大学，运筹学与控制论，2014，博士
【关键词】最优化；最优控制；精确罚函数；混合整数规划；时滞系统；

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